Astronomie Oberartikel (Root)

Neue astronomische Beiträge 2021

 

Themenstruktur zur Astronomie

Das Thema Astronomie versuche ich in Themengebiete zu strukturienen:

Meine Blog-Artikel zu astronomischen Themen

Es gibt vieles Astronomisches, was man im Internet findet. Ausserdem habe ich als Amateur, der sich ein wenig mit der Astronomie beschäftigt,  einige Informationen in meinem Blog zusammengestellt.

Dazu habe ich vieles in einzelnen Artikeln aufgeschrieben:

Vereine und Institutionen für Amateurastronomie

Links im Internet zu Astronomischen Themen

Links von Hans:

Links von Prof. Dr. Stefan Jordan auf dem ATT 2018

Gesammelte Links

Astrofotografie: Überblick

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Aufnahmeverfahren – Image Capturing

Astrofotografie

Bei den Astros kann man zwei “Lager” unterscheiden:

  • visuelle
  • fotografische

Ich persönlich möchte meine astronomischen Beobachtungen unbedingt festhalten, sprich als Foto dokumentieren.

Bei der Astrofotografie benötigt man deutlich mehr Technik als für die “nur” visuelle Astronomie.
Technik bedeutet hier: Gerätschaften (meine Geräteliste), Computer-Software (meine Softwareliste) und die zweckmäßige Vorgehensweise (Image Capturung).

Welche Websites können helfen?

Im Internet gibt es viele Quellen, die bei der Astrofotografie helfen können z.B.

Welche Objekte will ich fotografieren?

Da gibt es ganz unterschiedliche Motive/Beobachtungsobjekte:

  • Weitwinkel: Sternbilder, Milchstraße, Strichspuren, Zodikallicht, Erdschattenbogen, Halo-Erscheinungen, Leuchtende Nachtwolken,…
  • Objekte im Sonnensystem, wie Planeten/Kleinplaneten/Mond/Sonne
  • Deep Sky Objekte (“DSO”) Galaxien
  • Deep Sky Objekte: Sternhaufen, Asterismen
  • Deep Sky Objekte: Planetarische Nebel
  • Deep Sky Objekte: Emmissionsnebel, Absoptionsnebel

Wie ziele ich auf mein Beobachtungsobjekt?

Um das Beobachtungsobjekt in das Gesichtsfeld zu bekommen (“Framing”) gibt es verschiedene Methoden:

Wie hell ist das Beobachtungsobjekt?

Wenn es hell ist, kann man sehr kurz belichen

Wenn es dunkel ist, muss man sehr lange belichten

Wenn man lange belichtet, muss man evtl. nachführen, um die Erdrotation zu kompensieren.

Wie groß ist das Beobachtungsobjekt?

Das Beobachtungsobjekt muss in das Gesichtsfeld (Field of View = FoV) passen.

Bei der Astrofotografie macht es keinen Sinn von “Vergrößerung” zu sprechen. Das Bild entsteht auf dem elektronischen Sensor und kann dann in verschiedener Größe angezeigt werden. Wir haben ja kein Okular, mit dem wir das Bild betrachten (visuelle Astronomie). Bei Betrachtung durch ein Okular kann man von einer Vergrößerung sprechen und diese berechnen als f1/f2.

Womit kann ich fotografieren?

Zum Fotografieren benötigt man eine bildgebende Optik (Fotoobjektiv oder Teleskop) und einen bildaufnehmenden Sensor (DSLR oder Astro-Kamera CCD/CMOS).

Als Optiken für die Astrofotografie kommen infrage:

Bei Fotografieren entseht das Bild auf einem sog. Sensor:

  • Fotoapparate (DSLR)
  • Astro-Kameras (CCD/CMOS)

Linse und Sensor müssen zusammenpassen, um die beste Auflösung zu erzielen.

Aufnahmeverfahren (Image Capturing)

Wie gehe ich nun konkret vor beim Fotografieren von astronomischen Objekten? Das habe ich in diesem gesonderten Artikel beschrieben.

Astrofotografie – Überblick und Begriffe

Gehört zu: Astronomie

Mein Einstieg in die Astrofotografie

Als Amateurastronom möchte ich nicht nur visuell beobachten, sondern meine Beobachtungen auch gerne fotografisch festhalten.
Besonders interessant finde ich die Tatsache, dass ich auf einem Foto mehr sehen kann als mit bloßem Auge (dunklere Objekte, Farben,…).

Im Einzelnen habe ich für die Astrofotografie folgendes beschrieben:

  • Liste meiner Geräte (Equipment)
    • Montierung (Stativ etc.)
    • Kamera / Sensor
    • Fernauslöser (Remote Control,…)
    • Optik / Objektiv

 


Astrofotografie: Begriffe – Jargon

Wie häufig bei Spezialgebieten werden auch bei den erfahrenen Amatuerastronomen viele schöne Spezalbegriffe und Abkürzungen verwendet, die ein Einsteiger vielleicht nicht immmer gleich richtig versteht.

  • Lucky Imaging: Um der Luftunruhe ein Schnäppchen zu schlagen, macht man viele sehr kurz belichtete Aufnahmen (etwa 1/100 sec) und verwendet dann die wenigen Aufnahmen mit gutem “Seeing” zum Stacken…
  • Pretty Pictures: Leicht abwerted für “der macht keine wissenschftlichen Fotos”, sondern “nur” etwas, was schön aussieht
  • Tracking: Nachführung (heute meist motorisch in beiden Achsen)
  • Guiding bzw. Autoguiding (verbessertes Tracking)
  • Pointing-Modell  (Goto)
  • DMK: Bestimmte klassische Astro-Kameras
  • ASI: USB-Kameras von der Firma ZW Optical (ZWO)
  • LX200: eine klasssiche Montierung
  • Seeing: Luftunruhe (früher Szintillation genannt)
  • fokal / afokal
  • xyz

———————

Kamera bzw. Sensoren für Astrofotografie

Astrofotografie kann man heutzutage ganz einfach mit “normalen” digitalen Kameras (z.B. Canon, Nikon, Sony, Panasonic u.a.) machen.

Eine sehr niedrige Einstiegschwelle bietet die sog. afokale Fotografie, wo eine Kamera mit ihrem Objektiv direkt hinter das Okular eines Fernrohrs gehalten wird. Klassischerweise verwenden die “Profis” aber die sog. fokale Fotografie, wo der Sensor einer Kamera in die (primäre) Fokalebene eines Fernrohrs plaziert wird.

Weiterhin werden seit einiger Zeit auch kleine Video-Kameras eingesetzt, die aber keinen Bildspeicher haben, sondern ihr Bild immer an einen PC liefern müssen.
Meine “Sensoren“) sind:

Optiken

Als Optiken für die Sony habe ich verschiedene Möglichkeiten (Festbrennweiten mit Adapter auf E-Mount) –> DLSR-Objektive

  • Olympus G.ZUIKO AUTO-S  f=50mm, 1:1,4  (leichtes Tele z.B. für die Große Magellansche Wolke)
  • Vivitar AUTO WIDE-ANGLE f=24mm, 1:2 (Weitwinkel, z.B. für Polarlichter, die Milchstraße etc.)
  • MC Zenitar-M f=16mm, 1:2,8 (Überweitwinkel “FISH-EYE” z.B. für die Perseiden)
  • Asahi Optics Takumar f=135, 1:3,5
  • LidlScope 70/700 “SkyLux”  (z.B. für Sonnenbeobachtung)
  • Russentonne Rubinar f=500, 1:5.6   —> schlechte Qualität –> verkauft
  • und seit dem 1.11.2016 auch noch die sog. “Wundertüte” Beroflex, aber mit f=300mm, 1:4,0

Als Optiken für die Altair GP-CAM habe ich erst einmal:

  • Die mitgelieferte sog. “Meteorlinse”: This is a CS lens f=2.1mm    f/1.6   FOV 150 Grad
  • Eine zusätzlich als Sucher gekaufte f=12mm  f/1.2  FOV 17 x 22 Grad

Fernauslöser – Remote Control – für die Sony NEX-5R

In der Astrofotografie ist es erforderlich die Kamera erschütterungsfrei auszulösen.Das kann mit Hilfe spezieller Gerate (Fernauslöser) oder auch per Software von einem Computer erfolgen.

Außerdem kann es sinnvoll sein auch weitere Funktionen der Kamera per Software “Remote Control” zusteuern.

Fokussierung

Wir müssen das Teleskop bzw. das Foto-Objektiv so einstellen, das der Fokus genau in der Bildebene liegt und die astronomischen Beobachtungsobjekte “scharf” sind.

Astrofotografie für Einsteiger: Wie fokussiere ich mein Bild?

Montierungen – Stative – Nachführung

Zur Nachführung bei der Astrofotografie gibt es viele Möglichkeiten

Auffinden von Beobachtungsobjekten – Sucher

Oft ist es garnicht so einfach das gewünsche Beobachtungsobjekt im Gesichtsfeld von Kamera oder Teleskop einzustellen.

Beobachtungsorte – Lichtverschmutzung

Beobachtungsplanung

Welche Beobachtungsobjekte mit welchem Gerät zu welcher Zeit an welchem Ort?

Astrofotografie für Einsteiger: Welche Objekte kann ich fotografieren?

Bildbearbeitung

  • Stacken
  • Stretchen
  • Farbstich
  • Vignettierung
  • Farbrauschen
  • Gradienten
  • xyz

Meine Artikel zum Thema Astronomie

xxx

Astronomie: James Webb Space Telescope

Gehört zu: Teleskope

Das James Webb Space Telescope

Das von der NASA genannte “James Webb Space Telescope” (JWST) soll nun im Dezember 2021 endlich gestartet werden.

Zeitlich gesehen könnte man es als Nachfolger des im April 1990 gestarteten Hubble Space Teleskops (HST) ansehen, aber anders als das HST beobachtet das James-Webb-Telekop ja hauptsächlich im Infrarot. Sogesehen ist es eher ein Nachfolger des Spitzer-Teleskops.

Josef Gassner will das James Web Teleskop lieber Henrietta-Leawitt-Teleskop nennen.

Ursprünglich sollte das James Web Teleskop im März 2007 starten. Es kamen aber immer neue Startveschiebungen:

1. Geplantes Startdatum: 2011

x. Geplantes Startdatum: 2014

x. Geplantes Startdatum: 2018

x. Geplantes Startdatum: August 2020

11. Geplantes Startdatum  März 2021

12. Geplantes Stardatum: 31. Oktober 2021

13. Geplantes Startdatum: 12. Dez 2021

14. Geplantes Startdatum: 22. Dez 2021

Besonderheiten

Start von Kourou (ELA-3) mit einer Ariane-5-Rakete

Keine Erdumlaufbahn, sondern beim Lagrange-Punkt L2.

Gemeinschaftsprojekt von NASE, ESA und CSA.

 

 

Astronomie: Teleskopsteuerung mit Stellarium (Goto)

Gehört zu: Teleskopsteuerung (Goto)
Siehe auch: Stellarium, EQMOD

Stand: 25.11.2021

Teleskopsteuerung mit Stellarium (Goto)

Meine Montierung Skywatcher HEQ5 Pro möchte ich über Software steuern; d.h. ein Zielobjekt soll motorisch angefahren werden.
Das gewünschte Zielobjekt möchte ich am liebsten “optisch” eingeben; d.h. durch Anklicken eines Objekts in einer Planetarium-Software.
Ich könnte das gewünschte Zielobjekt auch aus einer Liste auswählen oder gar die Ziel-Koordinaten per Hand eingeben.

Ob als Ergebnis dieses Anfahrens eines gewünschten Zielobjekts dieses Zielobjekt auch genau getroffen wird, ist für mich sekundär, da ich danach fotografisch weiterarbeite d.h. mit meiner Astro-Foto-Software (APT) den Zyklus “Foto – Platesolving – SYNC” mit erneutem Goto per Stellarium mache…

Teleskop-Steuerung per Computer

Mit der Software Stellarium kann ich meine Goto-fähige Montierung statt über die Handbox auch über einen Computer steuern. Dafür muss die spezielle Montierung in geeigneter Weise mit dem Computer verbunden werden: Siehe dazu: Teleskop-Steuerung per Computer

Stellarium verfügt seit Version 0.10.3 über eine “Erweiterung” (Plugin) namens “Teleskopsteuerung”. Generell geht das dann so:

Einstellungsfenster [F2] –> Konfiguration –> Erweiterungen –> Teleskopsteuerung

Diese habe ich aktiviert; d.h. Häckchen bei “beim Starten laden”. Dies ist im Stellarium Wiki beschrieben: http://www.stellarium.org/wiki/index.php/Telescope_Control

Wenn das geschehen ist, gibt es in Stellarium mittlerweile unterschiedliche Möglichkeiter der “Teleskopsteuerung”

  • Über ASCOM (seit Stellarium Version 0.19.3)
  • Über INDI (seit Stellarium Version 0.17.0)
  • Direkt (Celestron NexStar, Mead LX200, Skywatcher Synscan Handbox)
  • Mit der Zusatz-Software Stellarium Scope, die ihrerseits ASCOM kann

Teleskopsteuerung mit ASCOM

Seit der Stellarium-Version 0.19.3  (Dez. 2019) besteht die elegante Möglichkeit, die Montierung (das Teleskop) über ASCOM zu steuern.

Voraussetzung dafür ist natürlich eine Montierung mit ASCOM-Treiber. Für meine Montierung Skywatcher HEQ5 Pro benutze ich den ASCOM-Treiber EQMOD.

Als einmalige Vorbereitung richte ich diese meine Montierung in Stellarium ein und aktiviere die Verbindung:

  1. Zunächst muss das Teleskop (genauer: die Montierung) eingerichtet werden. Ich nehme für meie HEQ5 Pro  dann die Option “ASCOM”
  2. Dann muss die Montierung mit Stellarium verbunden werden.

Nun kann Stellarium beliebige Himmelsobjekte anfahren und zwar wie folgt:

  1. Das gewünschte Zielobjekt wird auf dem Bild des Sternenhimmels durch Anklicken ausgewählt.
  2. Die Erweiterung “Teleskopsteuerung” unten in der Stellarium-Leiste anklicken
  3. Im dann aufgehenden Dialogfenster anklicken “ausgewähltes Objekt”
  4. An anklicken Schaltfläche “Schwenken”

Teleskopsteuerung mit INDI

Diese Möglichkeit besteht im Prinzip seit der Stellarium-Version 0.17.0 (Dez. 2017)

Dafür benötigt man INDI-Treiber für seine Montierung – dies kommen aus der Linux-Welt, die ich nicht als meinen Mainstream erachte.

Ich bleibe lieber bei den bewährten ASCOM, was ich auch für viele andere Astro-Software verwende: z.B. APT, N.I.N.A., SharpCap,…

Teleskopsteuerung mit Stellarium “Direkt”

Dazu habe ich keine eigenen Erfahrungen.

Teleskopsteuerung mit Stellarium Scope

StellariumScope erweitert die Möglichkeiten der Stellarium-Teleskopsteuerung indem ASCOM-Treber eingesetzt werden; d.h. jede (im Prinzip) Montierung, für die wir einen ASCOM-Treiber installiert haben, kann über StellariumScope angesprochen werden.

StellariumScope wurde ursprünglich für Teleskope mit EQMOD-Steuerung entwickelt, es sollen aber (fast) alle ASCOM-Teleskopsteuerungen unterstützt werden. EQMOD ist eine Windows-Software, die die Handbox per Software auf dem PC abbildet und wurde für Montierungen mit Schrittmotoren entwickelt. Montierungen mit Servomotoren werden leider nicht unterstützt.

Links zu StellariumScope:

Nach der Installation von StellariumScope hat man ein neues Programm namens “StellariumScope”. Dieses ruft man auf und konfiguriert z.B. den Stellarium-Aufruf, setzt den ASCOM-Teleskop-Driver und connected das Teleskop. Wenn man dann in StellariumScope auf “Start Stellarium” klickt, kann’s losgehen…

Ich habe dazu ein Youtube-Video gemacht:

Abbildung 7: Mein Youtube-Video

Astronomie: Wizzard Nebula NGC7380

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Emissionsnebel, Liste meiner Fotos
Benutzt: Fotos aus Flickr

Astronomie: Wizzard Nebula NGC7380

Der Wizzard Nebula NGC7380 wird auch “Harry Potters Golderner Schnatz” genannt.

NGC7380 ist ein helleres Nebel-Objekt im Sternbild Cepheus.

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für meine kleinen Refraktor ED80/600

  • Scheinbare Helligkeit von 7,2 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 20′
  • Der Goldene Schnatz NGC7380 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha und ist damit bestens für meinen Tri-Narrowband-Filter geeignet
  • Entfernung 7000 Lichtjahre.

Im September 2021 habe ich von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel ein erstes “Beweisfoto” vom Goldenen Schnatz erstellen können.

Abbildung 1: Wizzard Nebula (Goldener Schnatz) unter starker Lichtverschmutzung (Flickr: Rot_von_NGC7380-RGB-session_1-lpc-cbg-St3.jpg)

Rot_von_NGC7380-RGB-session_1-lpc-cbg-St3

Diese Fotografie habe ich von meiner Innenhof-Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel geschossen. Dabei hat mein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: Nordamerika-Nebel NGC7000

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Emissionsnebel, Liste meiner Fotos
Benutzt: Fotos aus Flickr

Astronomie: Nordamerika-Nebel NGC7000

Der Nordamerikanebel NGC7000 ist ein klassisches großes Nebel-Objekt im Cygnus (Schwan)

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für meine kleinen Refraktor ED80/600

  • Scheinbare Helligkeit von 4,0 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 150×150′  und 150’x75′
  • Der Nordamerikanebel NGC7000 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha und ist damit bestens für meinen Tri-Narrowband-Filter geeignet
  • Entfernung 2200 Lichtjahre.

Im September 2021 habe ich von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel ein erstes “Beweisfoto” vom Nordamerikanebel erstellen können.

Abbildung 1: Nordamerikanebel unter starker Lichtverschmutzung (Flickr: NGC7000-RGB-session_1-St.jpg)

NGC7000-RGB-session_1-St

Diese Fotografie habe ich von meiner Innenhof-Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel geschossen. Dabei hat mein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: Heart and Soul Nebula – IC1805 & IC1848

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Liste meiner Fotos
Benutzt: Fotos aus Flickr

Heart and Soul Nebula – IC1805 & IC1848

Heart and Soul zu deutsch auch Herz- und Seelen-Nebel  ist ein klassisches großes Nebel-Objekt (IC1805 und IC1848) in der Cassiopeia.

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für das Teleobjektiv.

  • Scheinbare Helligkeit von 6,5 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 150×150′  und 150’x75′
  • Der Herznebel und der Seelennebel sind Emissionsnebel und strahlen vorwiegend in H alpha und sind damit bestens für meinen Tri-Narrowband-Filter geeignet
  • Entfernung 7500 Lichtjahre.

Im November 2021 habe ich von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel ein erstes “Beweisfoto” vom Herz- und Seelen-Nebel erstellen können.

Abbildung 1: Herz- und Seelen-Nebel unter starker Lichtverschmutzung (Flickr: Rot_von_HeartAndSoul-RGB-session_1-lpc-cbg-csc-St_6.jpg)

Rot_von_HeartAndSoul-RGB-session_1-lpc-cbg-csc-St_6

Diese Fotografie habe ich von meiner Innenhof-Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel mit meinem Fotoobjektiv Takumar 135mm geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Wohnung: E-Ladesäule

Gehört zu: Wohnung
Siehe auch: Auto

Stand: 25.11.2021

Wohnung: E-Ladesäule

Wir planen an unserem Tiefgaragen-Stellplatz eine E-Ladesäule (sog. Wallbox) einzurichten.

Deswegen habe ich heute am 25.10.2021 mit unserem Elektriker ein erstes Telefongespräch geführt.

Der Elektriker will nächste Woche mal vorbeikommen und sich vor Ort die Gegebenheiten anschauen, um dann ein Angebot zu erstellen.

Eine erste Frage des Elektrikers war: 11 kW oder 22 kW? Ich habe keine Ahnung was das für Auswirkungen hätte.

Bei 22 kW sagt der Elektriker, sei eine “Regelung” vorgeschrieben.

So eine Wallbox kostet ca. 1500,– bei 11 kW und 2700,– bei 22 kW.

Dabei ist immer schon eine Freischaltung per RFID-Karte dabei.
Im Internet werden auch billigere angeboten, die bekommen in Hamburg aber keine Zulassung.

Lieferzeit: 1Q2022.

Generell müssen alle Wallboxen, die in Hamburg von den Behörden (Stromnetz Hamburg?) zugelassen werden, “managebar” sein; d.h. vom Stromnetz Hamburg aus der Ferne herunterregelbar, für den Fall, dass das Stromnetz überlastet würde.

Man bekommt in Hamburg 900 Euro Förderung für eine E-Ladestation, das kann man schon beantragen, wenn noch keine konktetes Angebot vorliegt oder braucht man ein Angebot oder was braucht man für den Antrag….?

Im einfachsten Fall will der Elektriker einfach ein Kabel verlegen von “unserem” Stromzähler im Keller zu der Position der Ladebox in der Tiefgarage. Da mus man eigentlich niemanden fragen, meiner der Elektriker. Dann läuft der Strom einfach über unseren Zähler. Die Ladesäule kann nur über eine Freischaltung per RFID-Karte benutzt werden. Obtional knnte auch noch ein geeichter Zähler eingebaut sein (mit Mehrkosten).

Die Frage wäre, ob man eine Ladeinfrastruktur, die später mehrere nutzen könnten aufbauen will. Das wäre dann der umstädlichere Weg —> Verwalter —> WEG

Der Elektriker war heute (25.11.2021) vor Ort und wird nun ein Angebot erstellen.

Mathematik: Koordinatensysteme

Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 13.11.2021

Koordinatensysteme in Riemanschen Mannigfaltigkeiten

Koordinatensysteme spielen u.a. in sog. Riemanschen Manigfaltigkeiten eine Rolle.

Man hat eine Punktmenge M (Topologischer Raum?) und ordnet jedem Punkt ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.

Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten und n-Tupeln:

\( M \to \mathbb{R}^n \)

Chartesische Koordinaten

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Chartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Krummlinige Koordinaten

Bei nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.

  • Ebene Polarkoordinaten
  • Kugel-Koordinaten
  • Zylinder-Koordinaten

Kurven und Tangenten

Eine Kurve in einer Riemanschen Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Riemansche Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.

Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)

Die Abbildung ist dann:

\( [t_a, t_e] \to M \\\)

Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Riemannschen Manigfaltigkeit M.

Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die  Kurve also eine Abblidung:

\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)

Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)

Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:

\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)

Die Kurve selbst liegt in der Riemanschen Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Riemannsche Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.

Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum…

Koordinatenlinien

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt.
So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).

Die Koordinatenlinie \( L_j\)  hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:

\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j)  \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j)  \)

Schöneres Latex:

\( q^i(t) = \left \{  \begin{array}{ll}   p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\    \end{array} \right. \)

Koordinaten-Hyperflächen

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \)  gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.

So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.

Astronomische Koodinatensysteme

Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.

Physik: Einstein ART Allgemeine Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Kosmologie, Expansion des Universums, Metrik-Tensor
Benutzt: Latex-Plugin

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es um die Gravitation, die ja schon von Newton beschrieben wurde.

Ein Ausgangspunkt für die ART ist das sog. Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem nicht von einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitatiosfeld unterschieden werden kann. Formelmäßig ist dann die sog. “träge Masse” identisch mit der “schweren Masse”….

Quelle: Youtube Video https://youtu.be/hU0Mcd2-XH4

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die obige Gleichung kann so kompakt hingeschrieben werden, weil sog. Tensoren verwendet werden.

Der Metrik-Tensor ist \( g_{\mu \nu} \). Gemäß Konvention laufen die Indices μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

Den Metrik-Tensor habe ich wohl verstanden und im Einzelnen in einem separaten Blog-Post beschrieben.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

Der Engergie-Impuls-Tensor soll Massendichte, Energiedichte, Druck und ähnliches beschreiben, soll heissen alles, was für die Krümmung des Raumes Ursache sein soll. Dieser Tensor ist für die Entwicklung des Universums wichtig; siehe: Expansion des Universums.

Λ (großes Lambda) ist die sog. kosmologische Konstante, die ursprünglich (1915) nicht in der Gleichung stand, sondern später von Einstein eingeführt wurde, um dem gravitativen Kollaps des Universums entgegen zu wirken.

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Manchmal sieht mit die Einsteinschen Feldgleichungen auch in einer etwas anderen Form:

\( \Large G_{\mu \nu}  = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Mit dem sog. Einstein-Tensor:

\( \Large G_ {\mu \nu}  = R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}  \\\)

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein große Massen die Raumzeit krümmen. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit

 

Mathematik: Der Metrik-Tensor

Gehört zu: Vektoranalysis
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Koordinatensysteme, Vektorbasis, Tensoren, Gekrümmter Raum

Der Metrik-Tensor

Stand: 26.10.2021

Youtube-Videos von Prof. Paul Wagner:

Wir betrachten eine Riemansche Manigfaltigkeit; d.h. eine Punktmenge mit einem Koordinatensystem. Zu so einem Koordinatensystem, gehört ein Metrik-Tensor, der uns auch ein Linienelement definiert und damit so etwas wie eine Metrik.

Wir kommen aber nicht in einem Schritt von einem Koordinatensystem zu einem Metrik-Tensor, sondern betrachten zunächst, wie ein Koordinatensystem eine Vektorbasis definiert. Zu so einer Vektorbasis haben wir dann einen Metrik-Tensor.

Schlussendlich wollen wir ja Vektorfelder beschreiben. Dabei handelt es sich ja um eine Abbildung von Raumpunkten auf Vektoren. Dabei wird der Raumpunkt durch seine Koordinaten im Koordinatensystem und der Vektor durch seine Komponenten bezügliche “seiner” Vektorbasis beschieben. Wenn wir dann beispielsweise die Veränderung eines Vektors bei kleinen Veränderungen des Raumpunkts untersuchen, müssen wir nicht nur die Veränderung der Vektorkomponenten, sondern ggf. auch die Veränderung der Basisvektoren berücksichtigen, da die Basisvektoren ja im Allgemeinen (z.B. bei krummlinigen Koodinaten) auch vom Ort im Raum abhängig sein werden.
Das wird uns dann zur sog. Kontravarianten Ableitung führen.

Koordinatensystem und Vektorbasis

Zu einem Koordinatensystem bekommmen wir nämlich zwei möglicherweise verschiedene Vektorbasen:

1) Die Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien: sog. kovariante Basis

2) Die Basisvektoren stehen normal (senkrecht) auf den Koordinatenhyperflächen: sog. kontravariante Basis

Bei Chartesischen Koordinaten sehen wir Besonderheiten:

  1. Kovariante Vektorbasis = Kontravarinate Vektorbasis
  2. Die Vektorbasis ist unabhängig vom betrachteten Raumpunkt, also überall die gleiche.

Bei nicht-chartesischen Koordinatensystemen (sog. krummlinigen) wird das beides anders sein.

Bei solchen nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Wir betrachten nun einen Raum mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten: \( q^\alpha \) mit α =1,2,…,n und einem hilfsweise dahinterliegenden Chartesischen Koordinaten: \( x^i \) mit 1= 1,2,….n.

Als Hilfsmittel ziehen wir anfangs gerne die Chartesischen Koordinaten hinzu, wo wir dann im Fall von beliebig vielen Dimensionen die Symbole xi (i=1,2,…) verwenden, oder bei zwei und oder drei Dimensionen, manchmal auch: x,y,z.

Die kovarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}_\alpha \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Tangenten an die Koordinatenlinien. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\(\Large \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Die kontravarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}^{\,\alpha} \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Normalen auf den Koordinatenhyperflächen. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\( \Large \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \)

Vektorbasis und Metrik-Tensor

Wenn wir eine Vektorbasis gefunden haben; z.B.:

Eine Vektorbasis: \( \vec{g}_\alpha \)  (α= 1,2,…,n)

Erhalten wir zu dieser Vektorbasis den dazugehörigen Metrik-Tensor als: \( \left(g_{ij}\right) = \vec{g}_i \cdot \vec{g}_j  \)

Merke: Zu einer Vektorbasis haben wir einen Metrik-Tensor.

Die Riemann-Metrik

Wir können auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein Tensor-Feld \( g_{ij} \) definiert haben, mit dem wir einen Abstandsbegriff (d.h. eine Metrik) definieren; genauer gesagt, mit dem wir die Länge einer Kurve in der Mannigfaltigkeit definieren wie folgt:

\(\Large s = \int\limits_{t_a}^{t_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}} \, dt  \)

So einen Tensor \( g_{ij} \) nennen wir Metrik-Tensor.

Allgemeine Weisheiten zum Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor ist also ein Tensor-Feld, das auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert ist.

  • Wenn der Metrik-Tensor Elemente konstant sind (also nicht vom Ort abhängen) ist der Raum ein flacher Raum. Es kann dafür auch eine geeignete Koordinaten-Transformation benutzt werden.
  • Wenn die Komponenten des Metrik-Tensors aber vom Ort abhängen (keine Koordinaten-Transformation kann sie konstant machen), ist der Raum ein gekrümmten Raum.
  • So ein gekrümmer Raum kann in einen höherdimensionalen euklidischen (flachen) Raum eingebettet sein (z.B. die zweidimensionale Kugeloberfläche) muss es aber nicht.
  • Ein Euklidischer Raum, ist ein flacher Raum bei dem der Metrik-Tensor die Einheitsmatrix ist bzw. alle Diagonalelemente positiv sind.

Beipiel 1: Chartesische Koordinaten

Das Linienelement ist:

\( ds^2 = d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + d{x_3}^2 + … \)

Also:

\( ds^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}{{dx_i}^2} \)

Der Metrik-Tensor ist dabei ja ein Tensor vom Rang 2 und ist in diesem chartesischen Falle identisch mit der Einheitsmatrix (beispielsweise mit 3 Dimensionen):

\(\Large (g_{ij}) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Dieser Metrik-Tensor definiert dann unser Linienelement:

\( (ds)^2 = \sum\limits_{i=1}^n{\sum\limits_{j=1}^n{dx_i dx_j g_{ij}}} \)

Oder in der Einsteinschen kompakten Schreibweise (mit der sog. Summenkonvention):

\( (ds)^2 = g_{ij} dx^i dy^j \)

Beispiel 2: Ebene Polarkoordinaten

Im zweidimensionalen Euklidischen Raum (Ebene) haben wir als Chartesische Koordinaten: x1 = x,  x2 = y

Als krummlinigen Koordinaten nehmen wir Polarkoordinaten: q1 = r und q2 = φ

Zum Rechnen verwenden wird als Hilfsmittel gern die Chartesischen Koordinaten. Damit haben wir Koordinaten-Transformationen in beiden Richtungen:

\( x = r \cdot \cos{\phi} \\ \\ y = r \cdot sin{\phi} \)

Und in der anderen Richtung ist:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi =\arctan{\frac{y}{x}} \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kovariante Vektorbasis (Basis Vektorsystem):

\( \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Zu diesen kovarianten Basisvektoren bekommen wir als kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Wobei dieses Beispiel zeigt: (1) Der Metrik-Tensor ist ortsabhängig und (2) Die zugrundeliegende Vektorbasis ist zwar orthogonal, aber nicht orthonormal.

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2 \\ \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kontravariante Vektorbasis:

\( \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \\\)

Zu diesen kontravarianten Basisvektoren bekommen wir als kontravarianten Metrik-Tensor (wir können die Komponenten des kontravarianten Metrik-Tensors ausrechnen oder nehmen einfach das Inverse des kovarianten Metriktensors):

\( \left(g^{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2   \)

Wir sehen auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 3: Zylinderkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x ,y, z die Zylinderkoordinaten (r, φ, z) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r,  \, q^2 = \phi, \, q^3 = z \)

Aufgrund der Koordinaten-Transformationen bekommen wir:

Für den  kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2  + dz^2 \\ \)

Und für den  kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2 + dz^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 4: Kugelkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x, y, z die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r, \,  q^2 = \theta, \,  q^3 = \phi \)

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Radialachse” (Zenith/Nadir), die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\theta^2  + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Und als kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2}d\theta^2  + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}d\phi^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 5: Kugeloberfläche

Die Oberfläche einer Kugel mit dem (festen) Radius R ist ein zweidimensionaler Raum, wo wir als Koordinatensystem gut mit dem entsprechenden Teil der Kugelkkordinaten arbeiten können.

Also mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten mit \(  q^1 = \theta, \,  q^2 = \phi \), was also auf der Erdoberfläche prinzipiell der geografischen Breite und der geografischen Länge entsprechen würde.

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Der Metrik-Tensor ergiebt sich dann ganz analog aus dem Vorigen:

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr}  R^2 & 0 \\  0 & R^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  R^2 d\theta^2  + R^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Der so definierte Riemansche Raum (Kugeloberfläche mit dem o.g. Koordinatensystem) ist ein Nichteuklidischer Raum, wie wir sehen werden. Zur Geometrie in solchen Nichteuklidischen Räumen haben wir ja noch nichts gesagt; aber die Standard-Weissheit ist ja die Winkelsumme im Dreieck und…